Seminarium Oddziału Teorii Materii Skondensowanej
budynek II, sala 409a
Wprowadzenie do mechaniki niecałkowitego rzędu – modelowanie układów złożonych
Dr hab. inż. Jacek Leszczyński
Katedra Ogrzewnictwa, Wentylacji i Ochrony Atmosfery, Politechnika Częstochowska
Modelowanie matematyczne układów złożonych procesów ciągle wyzwaniem dla współczesnych badaczy. W odróżnieniu od układów prostych, gdzie do opisu ich dynamiki wystarczy znajomość teorii równań różniczkowych, układy złożone cechują się zmiennością struktur w nich występujących, wielkoskalowością oraz nieliniowym charakterem w opisie relacji pomiędzy parametrami.
Pomimo szeregu badań eksperymentalnych i otrzymanych doświadczalnych wyników mechanika układów złożonych nie jest do końca rozpoznana. Prawa dotychczas sformułowane są odpowiednie, jednak nie posiadają poprawnej ilustracji matematycznej. Stąd pojawienie się w literaturze rachunku operatorów całkowych i różniczkowych niecałkowitego rzędu, będących uogólnieniem klasycznego rachunku różniczkowo-całkowego, może stanowić przyczynek do głębszego poznania natury układów złożonych. Obecnie różne grupy badawcze starają się wykorzystać rachunek niecałkowitego rzędu w fizyce, mechanice, biologii, chemii. W odróżnieniu od klasycznego rachunku operatorów całkowitego rzędu, gdzie operatory te zależą tylko od lokalnego zachowania funkcji, operatory niecałkowitego rzędu akumulują cała historię tejże funkcji. Podstawową cechą pochodnych niecałkowitego rzędu jest też to, iż są określone na odcinku – nie w punkcie jak w przypadku pochodnych klasycznych. Taka własność pozwala na dokładniejszą i wnikliwszą analizę zjawisk. Przykładem pewnej niedoskonałości obowiązujących powszechnie modeli jest chociażby pojęcie prędkości, która w ujęciu matematycznym jest prędkością chwilową zdefiniowaną w punkcie. Jednakże wszelkie urządzenia pomiarowe, z racji swojej ograniczonej rozdzielczości, nie są w stanie wyznaczyć prędkości chwilowej. W niniejszej prezentacji podjęto próbę wyprowadzenia równań matematycznych opisujących układy złożone, wykorzystując do tego celu rachunek operatorów niecałkowitego rzędu.
